均匀带电球体静电能的推导

考虑一个半径为 ( a ) 的均匀带电球体，总电荷量为 ( Q )。我们需要计算这个球体的静电能。

1. 电场

根据高斯定律，球体内外的电场分别为：

$\mathbf{E}=\{\begin{array}{ll}\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}=\frac{\rho \mathbf{r}}{3{ϵ}_0},& (r<a)\\ \frac{Q\mathbf{r}}{4\pi {ϵ}_0{r}^3},& (r\ge a)\end{array}$

其中，($\rho =\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi a^3}$) 是电荷密度。

2. 球内电势

球内任意点 ( $r$ ) 处的电势 ($\phi (r)$) 可以通过积分电场得到：

$$\phi (r)={\int }_r^a\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}={\int }_r^{a}Edr+{\int }_a^{\mathrm{\infty }}Edr$$

对于 ( $r<a$ ) 的情况：

$$\phi (r)={\int }_r^a\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}dr+{\int }_a^{\mathrm{\infty }}\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}dr$$

计算积分：

$$\phi (r)={\frac{Q{r}^2}{8\pi {ϵ}_0{a}^3}|}_r^a+{-\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}r}|}_a^{\mathrm{\infty }}$$$$\phi (r)=\frac{Q{a}^2}{8\pi {ϵ}_0{a}^3}-\frac{Q{r}^2}{8\pi {ϵ}_0{a}^3}+\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}a}$$$$\phi (r)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}a}(\frac{a^2}{2a^2}-\frac{r^2}{2a^2}+1)$$$$\phi (r)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}a}(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2a^2})$$$$\phi (r)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}a}(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2a^2})=\frac{\rho a^2}{6{ϵ}_0}(3-\frac{r^2}{a^2})$$

3. 静电能

静电能 ( $W$ ) 为电荷密度和电势的乘积在整个球体体积上的积分：

$$W=\frac{1}{2}{\int }_V\rho \phi (r)dV$$$$W=\frac{1}{2}{\int }_0^a\rho \left(\frac{\rho a^2}{6{ϵ}_0}(3-\frac{r^2}{a^2})\right)4\pi r^{2}dr$$$$W=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\rho }^2{a}^2}{6{ϵ}_0}\cdot 4\pi {\int }_0^a(3-\frac{r^2}{a^2})r^{2}dr$$

计算积分：

$${\int }_0^a(3r^2-\frac{r^4}{a^2})dr={[r^3-\frac{r^5}{5a^2}]}_0^a=a^3-\frac{a^5}{5a^2}=a^3-\frac{a^3}{5}=\frac{4a^3}{5}$$

因此：

$$W=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\rho }^2{a}^2}{6{ϵ}_0}\cdot 4\pi \cdot \frac{4a^3}{5}=\frac{4\pi {\rho }^2{a}^5}{15{ϵ}_0}$$

将 ($\rho =\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi a^3}$) 代入：

$$\rho =\frac{3Q}{4\pi a^3}$$$$W=\frac{4\pi {\left(\frac{3Q}{4\pi a^3}\right)}^2{a}^5}{15{ϵ}_0}=\frac{4\pi \cdot \frac{9Q^2}{16{\pi }^2{a}^6}\cdot a^5}{15{ϵ}_0}=\frac{36Q^2}{60\pi {ϵ}_{0}a}=\frac{3Q^2}{5\cdot 4\pi {ϵ}_{0}a}=\frac{3Q^2}{20\pi {ϵ}_{0}a}$$

4. 结论

均匀带电球体的静电能为：

$$W=\frac{3Q^2}{20\pi {ϵ}_{0}a}$$